* Penalties en Ligue 1

D'après les statistiques portant sur la saison \(2023\)-\(2024\) de Ligue 1 de football, \(85\) penalties ont été marqués sur \(105\) tentés.
Source : https://ligue1.fr/articles/l1_article_2020-stats-les-penaltys-a-la-loupe-l1-2425

1. En assimilant fréquence et probabilité, déterminer la probabilité qu'un joueur de Ligue 1 marque un but sur penalty.
2. Dans un match quelque peu engagé, \(3\) penalties ont été sifflés. On suppose que l'issue de chaque penalty est indépendante de celle des autres. On considère la variable aléatoire \(X\) qui compte le nombre de buts marqués sur penalty lors de ce match.
    a. Dresser l'arbre de probabilité reflétant la situation.
    b. Justifier que la variable aléatoire \(X\) suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
    c. Traduire par une phrase et calculer la probabilité de chacun des événements suivants : \(\{X=0\}\), \(\{X=2\}\), \(\{X\leqslant 2\}\) et \(\{X<2\}\).
    d. Donner l'espérance de \(X\) et l'interpréter dans le contexte de l'exercice.